Taux de variation et coefficient directeur d'une sécante

Définition
Soit `f` une fonction définie sur un intervalle `I`  de  `\mathbb{R}`  et  \(a\) un nombre réel appartenant à `I` .
Soit `h`  un nombre réel non nul tel que `a+h`  appartient à  `I` .
On appelle taux de variation de  `f` entre `a`  et `a+h`  le nombre    \(\boxed{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}\) .
​​​​​On le note aussi   \({\tau_a(h)}\) .

Propriété
Soit `f` une fonction définie sur un intervalle `I`  de  `\mathbb{R}`  et  \(a\) un nombre réel appartenant à `I` .
Soit `h`  un nombre réel non nul tel que `a+h`  appartient à  `I` .
Soit  \(\text A\) le point de la courbe représentative de  `f` d’abscisse  `a` et \(\text M\)  le point de la courbe représentative de  `f` d’abscisse  `a+h` .
L e coefficient directeur de la droite \(\text {(AM)}\) est le nombre  \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) . C'est le taux de variation de la fonction  \(f\)  entre  \(a\)  et  \(a+h.\)

Remarque
La notation \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) est également utilisée pour indiquer le taux de variation, notamment dans des contextes relevant de la physique.

Démonstration
On représente la fonction  `f`  dans un repère.
Le point  `A`  a pour coordonnées  `(a;f(a))`  et le point  `M(a+h;f(a+h))` .
Le coefficient directeur de la droite  \(\left(AM\right)\)  se calcule donc par : 

\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f\left(a+h\right)-f(a)}{\left(a+h\right)-a}=\dfrac{f\left(a+h\right)-f(a)}{h}\)
On retrouve bien \(\tau_a\left(h\right)\) , le taux de variation de  `f`  entre `a` et \(a+h\) .